1단계: 접선의 방정식 및 점 \(\mathrm{Q}, \mathrm{H}\)의 좌표 구하기
제시문 [가]에 의하여 원 \(x^2+y^2=4\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, \sqrt{4-t^2})\)에서의 접선의 방정식은 \[ t x + \sqrt{4-t^2} y = 4 \] 이다. 점 \(\mathrm{Q}\)는 이 접선의 \(x\)절편이므로 \(y=0\)을 대입하면 \(t x = 4\)에서 \(x = \frac{4}{t}\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표는 \[ \mathrm{Q}\left(\frac{4}{t}, 0\right) \] 이다. 점 \(\mathrm{P}(t, \sqrt{4-t^2})\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 좌표는 \(\mathrm{H}(t, 0)\)이다.

2단계: 삼각형 \(\mathrm{PHQ}\)의 넓이 \(S(t)\) 및 거리 \(d(t)\) 계산
\(0 < t < 2\)이므로 \(\frac{4}{t} > 2 > t\)이다. 따라서 밑변 \(\mathrm{QH}\)의 길이는 \[ \overline{\mathrm{QH}} = \frac{4}{t} - t = \frac{4-t^2}{t} \] 이고, 높이 \(\mathrm{PH}\)의 길이는 \(\overline{\mathrm{PH}} = \sqrt{4-t^2}\)이다. 삼각형 \(\mathrm{PHQ}\)는 \(\angle\mathrm{PHQ} = 90^\circ\)인 직각삼각형이므로 그 넓이 \(S(t)\)는 \[ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{QH}} \times \overline{\mathrm{PH}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4-t^2}{t} \cdot \sqrt{4-t^2} \\ &= \frac{(4-t^2)^{3/2}}{2t} \end{aligned} \] 이다. 또한 점 \(\mathrm{P}(t, \sqrt{4-t^2})\)에서 직선 \(x=2\)에 내린 수선의 길이 \(d(t)\)는 \(0 < t < 2\)이므로 \[ d(t) = 2 - t \] 이다.

3단계: 극한값 계산 및 결론 도출
식 \(4 - t^2 = (2-t)(2+t)\)이므로 \[ (4-t^2)^{3/2} = (2-t)^{3/2}(2+t)^{3/2} \] 이다. 따라서 구하고자 하는 식은 \[ \frac{S(t)}{\{d(t)\}^{3/2}} = \frac{\frac{(2-t)^{3/2}(2+t)^{3/2}}{2t}}{(2-t)^{3/2}} = \frac{(2+t)^{3/2}}{2t} \] 으로 정리된다. 제시문 [나]에 의하여 \(t \to 2^-\)일 때의 좌극한을 구하면 \[ \begin{aligned} \lim_{t \to 2^-} \frac{S(t)}{\{d(t)\}^{3/2}} &= \lim_{t \to 2^-} \frac{(2+t)^{3/2}}{2t} = \frac{(2+2)^{3/2}}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{4^{3/2}}{4} = \frac{8}{4} = 2 \end{aligned} \] 이다.
따라서 구하는 극한값은 \(2\)이다.

1단계: 변수 설정 및 부피 조건을 통한 관계식 도출
밑면의 가로의 길이를 \(x\,\mathrm{(m)}\) (\(x>0\))라 하면 세로의 길이는 \(2x\,\mathrm{(m)}\)이다. 수조의 높이를 \(h\,\mathrm{(m)}\) (\(h>0\))라 하자.
제시문 [나]에 의하여 수조의 부피 \(V\)는 \[ V = x \cdot (2x) \cdot h = 2x^2 h = 36 \] 이다. 따라서 높이 \(h\)를 \(x\)에 대하여 나타내면 \[ h = \frac{36}{2x^2} = \frac{18}{x^2} \quad (x>0) \] 이다.

2단계: 뚜껑이 없는 수조의 겉넓이 함수 작성
뚜껑이 없으므로 밑면 1개와 옆면 4개의 넓이의 합이 겉넓이 \(S(x)\)가 된다. 제시문 [나]에 의하여 \[ S(x) = x \cdot (2x) + 2(xh + 2xh) = 2x^2 + 6xh \] 이다. 여기에 \(h = \frac{18}{x^2}\)을 대입하면 \[ S(x) = 2x^2 + 6x \left(\frac{18}{x^2}\right) = 2x^2 + \frac{108}{x} \quad (x>0) \] 이 성립한다.

3단계: 도함수를 이용한 증감 조사 및 극값 판정
\(S(x)\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \[ \begin{aligned} S'(x) &= 4x - \frac{108}{x^2} = \frac{4(x^3 - 27)}{x^2} \\ &= \frac{4(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2} \end{aligned} \] 이다. \(x>0\)에서 \(x^2 > 0\)이고 \(x^2+3x+9 = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{4} > 0\)이므로, \(S'(x)=0\)을 만족하는 유일한 해는 \(x=3\)이다.
- \(0 < x < 3\)일 때 \(S'(x) < 0\)이므로 \(S(x)\)는 감소한다.
- \(x > 3\)일 때 \(S'(x) > 0\)이므로 \(S(x)\)는 증가한다.
따라서 제시문 [가]에 의하여 \(S(x)\)는 \(x=3\)에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.

4단계: 최솟값 계산 및 최종 결론
최솟값은 \(x=3\)일 때의 함숫값이므로 \[ S(3) = 2(3)^2 + \frac{108}{3} = 2 \cdot 9 + 36 = 18 + 36 = 54\,\mathrm{(m^2)} \] 이다.
따라서 밑면의 가로의 길이는 \(3\,\mathrm{m}\)이고, 겉넓이의 최솟값은 \(54\,\mathrm{m^2}\)이다.

1단계: 인접한 두 항의 합과 부분합 사이의 관계식 유도
모든 자연수 \(k\)에 대하여 주어진 점화식의 짝수항과 홀수항을 더하면 \[ a_{2k} + a_{2k+1} = (a_k + 2) + (2a_k - 1) = 3a_k + 1 \] 이다. 이제 제\(n\)항까지의 부분합을 \(S_n = \sum_{i=1}^n a_i\)라 하자.
임의의 자연수 \(m\)에 대하여 \(S_{2m+1}\)은 다음과 같이 분할된다: \[ S_{2m+1} = a_1 + \sum_{k=1}^m (a_{2k} + a_{2k+1}) = a_1 + \sum_{k=1}^m (3a_k + 1) = a_1 + 3 \sum_{k=1}^m a_k + \sum_{k=1}^m 1 \] 따라서 다음의 핵심 점화 관계식을 얻는다: \[ S_{2m+1} = a_1 + 3S_m + m \] 주어진 조건에서 \(a_1 = 1\)이므로 \[ S_{2m+1} = 3S_m + m + 1 \] 이다.

2단계: \(S_1\)부터 \(S_{63}\)까지 단계적 부분합 계산
구하고자 하는 항의 번호는 \(63 = 2(31)+1\)이다. 위의 관계식을 순차적으로 적용한다.
- \(m=1\)일 때: \[ S_1 = a_1 = 1 \] \[ S_3 = S_{2(1)+1} = 3S_1 + 1 + 1 = 3(1) + 2 = 5 \] (실제 확인: \(a_2 = a_1+2=3\), \(a_3 = 2a_1-1=1\)이므로 \(S_3 = 1+3+1 = 5\)로 일치함)

- \(m=3\)일 때: \[ S_7 = S_{2(3)+1} = 3S_3 + 3 + 1 = 3(5) + 4 = 19 \] - \(m=7\)일 때: \[ S_{15} = S_{2(7)+1} = 3S_7 + 7 + 1 = 3(19) + 8 = 57 + 8 = 65 \] - \(m=15\)일 때: \[ S_{31} = S_{2(15)+1} = 3S_{15} + 15 + 1 = 3(65) + 16 = 195 + 16 = 211 \] - \(m=31\)일 때: \[ S_{63} = S_{2(31)+1} = 3S_{31} + 31 + 1 = 3(211) + 32 = 633 + 32 = 665 \] 따라서 구하는 합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{63} a_n\)의 값은 \(665\)이다.

1단계: 급수식을 정적분 전환 형태로 정리
주어진 급수식의 일반항을 분리하여 변형하면 \[ \frac{k}{n^2} e^{k/n} = \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n} \cdot \frac{1}{n} \] 이다. 따라서 구하고자 하는 극한값 \(L\)은 \[ L = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left[\left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n} \cdot \frac{1}{n}\right] \] 으로 표현된다.

2단계: 제시문 [가]를 적용한 정적분 변환
함수 \(f(x) = x e^x\)라 하면, \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 함수이다.
제시문 [가]의 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = \int_0^1 f(x)\,dx\)에 의하여 \[ L = \int_0^1 x e^x\,dx \] 로 변환된다.

3단계: 부분적분법을 이용한 정적분 계산
제시문 [나]의 부분적분법을 적용하기 위하여 \[ u(x) = x, \quad v'(x) = e^x \] 로 두면 \[ u'(x) = 1, \quad v(x) = e^x \] 이다. 부분적분법 공식에 대입하면 \[ \int_0^1 x e^x\,dx = \left[ x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx \] 이다. 각 항을 계산하면 \[ \left[ x e^x\right]_0^1 = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) = e \] 이고, \[ \int_0^1 e^x\,dx = \left[ e^x\right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \] 이다. 따라서 \[ L = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \] 이다.
따라서 구하는 극한값은 \(1\)이다.